miércoles, 9 de julio de 2008
Curso de Geometría Dinámica II
Este es el Blog del Curso de Geometría Dinámica II del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Puerto Rico en Río Piedras. El curso de Geometría Dinámica II es la continuación del curso de Geometría Dinámica ofrecido en el primer semestre 2008-09. El curso ha sido diseñado para estudiantes de la Facultad de Educación con aspiraciones de especialización en el área de la enseñanza de la matemática. Los profesores del presente curso son los doctores Jorge M. López del Departamento de Matemática de la Universidad de Puerto Rico y Omar Hernández de la Facultad de Educación de la Universidad de Puerto Rico. En este curso se estudiarán programas de computadoras que crean ambientes artificiales de exploración geométrica, tales como el Geometer's SketchPad, el Cabri Geometry y el GeoGebra. Además en este curso de seguimiento exploraremos situaciones más profundas de exploración geométrica las cuales se indican en el sílabo que sigue. El estudiante del curso debe estar familiarizado con, al menos, estos tres recursos de simulación geométrica a través de las actividades diseñadas por los profesores del curso y se familiarizarán con resultados centrales de la geometría sintética. Los nuevos estudiantes deberán emplear las referencias sugeridas por sus profesores para actualizar su conocimiento de los temas del curso (de ser necesario).
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La circunferencia de los nueve puntos
La dirección URL que se muestra más abajo lleva a un recurso interactivo que discute progresivamente las ideas centrales del teorema de la circunferencia de los nueve puntos. Aileen Velázquez Estrella ha traido a nuestra atención esta presentación.
Actividad del 23 de febrero: Conversación sobre el Teorema de Menelao
Contestación a los ejercicios de febrero 9, 2009
Completar las primeras cuatro conversaciones para Lunes 9 de marzo
Las homotecias y los números reales
Exploración sobre el lugar geométrico del punto de Gergonne
Experimentación con luntos de Nagel y de Gergonne
Documentación del GeoGebra
Problema E 3155 [1986, 482] de la revista MAA
El Teorema de CEVA
En los hipervínculos que siguen se presenta un problema propuesto en la conocida revista American Mathematical Monthly del Mathematical Association of America. En los vínculos que siguen se presentan tanto el problema propuesto con la solución oficial de la revista así como nuestra propia solución. La solución nuestra usa el axioma de la colocación de la recta de la axiomatización de la geometría de Euclides y simplifica la presentada en la revista.
Nuevo!!!! Actividades geométricas de GeoGebra en español
Nuevo!!!! Artículo de O. Hernández y J. Lopez sobre la geometría dinámica
Nuevo!!!! Applet sobre la circunferencia de los nueve puntos
Exploración con el GSP para la reunión del curso del Febrero 9 2009
International Newsletter on the Teaching and Learning of Proof, Nicolas Balacheff editor
Conversación sobre el Teorema de Ceva
Sílabo de Geometría Dinámica II
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Material de Matemática Dinámica primer semestre 2008-09
El material que aparece de esta punto en adelante corresponde a asuntos estudiados en durante el semestre indicádo en el epígrafe, y se ha conservado para beneficio de los estudiantes que deseen emplearlo. Además esto garantiza que todos los materiales de este Blog se conservan junto con los contextos que les dieron origen.
Actividades de Hofstadter sobre línea de Euler, punto de Nagel y otras joyas
Circunferencia de Spiker y punto de Nagel
Actividad XII El triángulo triángulo ortico medio
Instrucciones
Si no ve la figura completa con el mouse derecho escoja zoom y ponga algún porciento menor que 100%. Luego observe que A, B, C son los vértices del triángulo, A', B' y C' son los puntos medios de los lados opuestos respectivos, D, E y F los pies de las perpendicares trazadas desde los vértices respectivos y K, L, M los puntos medios desde los vertices al ortocentro respectivamente. Arrastre los vertices del triángulo y observe lo que ocurre. ONH es el segmento de Euler, H es el ortocentro, O es el circuncentro y N es el centro de la circunferencia de los nueve puntos. Puede arrastar los vértices del triángulo ABC y observar qué ocurre.
Una generalización del resultado sobre la circunferencia de los nueve puntos
Tarea para el miércoles 26 de noviembre
Tarea del cículo de los nueve puntos y la línea de Euler
Construcción de tangentes externas e internas entre circunferencias
Tarea para el 12 de noviembre de 2008
Conversación sobre la construcción de tangentes desde puntos externos
Preguntas guías para las reflexiones
Conversaciones sobre las bisectrices
Reflexiones del 1 de octubre de 2008
Más reflexiones incluyendo las de una asidua visitante del Blog
Nuevo!!!! Notas sobre la geometría del triángulo (actualizadas al 27 de octubre de 2008)
Conversaciones para mostrar teoremas geométricos
En las siguientes conversaciones se culmina con el resultado que reza que las alturas de cualquier triángulo son concurrentes. La demostración se logra mediante una "conversación" en el estilo de las conversaciones de Sócrates y Menón.
Para acceder a las conversaciones ir a los próximos vínculos.
Para acceder a las conversaciones ir a los próximos vínculos.
Conversaciones
Conversaciones sobre el lugar geométrico del baricentro de un triángulo en PDF
Tarea sobre las funcionalidades del GeoGebra
Reflexiones estudiantiles sobre la clase del Miércoles 25 de septiembre de 2008
Tarea para entregar el miércoles 1 de octubre.
La siguiente tarea deberá ser entregada por cada estudiante el día 1 de octubre:
1. Una reflexión sobre los asuntos didácticos discutidos hoy miércoles 24 de septiembre en clase y que se refiera al tema general: "Cuál es la meta de la utilización de los programas de exploración geométrica con los recursos geométricos de la TI Inspire y el GSP en el aula. Cuáles son los resultados específicos que buscamos cuando empleamos tales programas." La reflexión se puede someter por correo electrónico antes de la próxima clase.
2. Resolver el Ejercicio 1 y entregarlo el miércoles 1 de octubre al comienzo de la clase. El trabajo se puede entregar como un documento escrito en clase o como archivo del GSP o de la TI Inspire con figuras y explicaciones en cuyo caso también se podría enviar via correo electrónico.
3. Demostrar que el lugar geométrico del punto medio de una cuerda de una circunferencia cuando se mueve uno de los extremos de la cuerda sobre la circunferencia es a su vez una circunferencia que pasa por el centro y por el otro extremo de la cuerda, y que tiene radio igual a la mitad del radio de la circunferencia original.
4. Contestar todas las preguntas formuladas en las Conversaciones sobre el GSP 1, 2 y 3. El trabajo se puede entregar como un documento escrito en clase o como archivo del GSP con figuras y explicaciones en cuyo caso también se podría enviar via correo electrónico antes de la próxima clase.
Los archivos del Ejercicio 1 y las Conversaciones sobre el GSP 1, 2, y 3 se pueden conseguir en los siguientes enlaces:
1. Una reflexión sobre los asuntos didácticos discutidos hoy miércoles 24 de septiembre en clase y que se refiera al tema general: "Cuál es la meta de la utilización de los programas de exploración geométrica con los recursos geométricos de la TI Inspire y el GSP en el aula. Cuáles son los resultados específicos que buscamos cuando empleamos tales programas." La reflexión se puede someter por correo electrónico antes de la próxima clase.
2. Resolver el Ejercicio 1 y entregarlo el miércoles 1 de octubre al comienzo de la clase. El trabajo se puede entregar como un documento escrito en clase o como archivo del GSP o de la TI Inspire con figuras y explicaciones en cuyo caso también se podría enviar via correo electrónico.
3. Demostrar que el lugar geométrico del punto medio de una cuerda de una circunferencia cuando se mueve uno de los extremos de la cuerda sobre la circunferencia es a su vez una circunferencia que pasa por el centro y por el otro extremo de la cuerda, y que tiene radio igual a la mitad del radio de la circunferencia original.
4. Contestar todas las preguntas formuladas en las Conversaciones sobre el GSP 1, 2 y 3. El trabajo se puede entregar como un documento escrito en clase o como archivo del GSP con figuras y explicaciones en cuyo caso también se podría enviar via correo electrónico antes de la próxima clase.
Los archivos del Ejercicio 1 y las Conversaciones sobre el GSP 1, 2, y 3 se pueden conseguir en los siguientes enlaces:
Enlaces para el trabajo de la tarea (Conversación 4 es la más reciente)
Foro de expresión del estudiante
Dr. Hernández y Dr. López :
No puedo más que hacerles llegar mi sentir sobre las maravillas que han creado en el portal de la clase. Hoy en la escuela, en el poco tiempo disponible que tengo, lei algunos artículos de la clase y los comentarios de los compañeros. Tuve que ir a casa de mi hermana, cuando ella llegó del trabajo, a instalar el GS y ver las 'conversaciones' por lo inspirada que yo estaba. La verdad que es brillante lo que han hecho, hay alguien que le sigue los pasos a Menón o a Sócrates o a Platón... Les felicito una vez más y estoy sumamente impresionada. Yo creo que eso merece publicarse de alguna manera o compilarlo en algún manual. Me parece que ese portal está excelente y creo que el curso está tomando una estructura didáctica que merece discusión y una pequeña investigación. Creo que los compañeros pueden ser más explícitos en sus escritos pero es posible que sea la limitación de tiempo. De todos modos me uno a la(el) companera(o) que exclamó: ¡Qué lindo! Una de las limitaciones de la tecnología es que cuando se daña (como en mi caso en el peor momento) es demasiado cara (por lo menos para mí) como para salir corriendo a comprarla (de la misma manera que llegué a la casa de mi hermana) pero la economía no está muy buena y menos con las noticias de hoy. Les dejo con un pensamiento editado (por mí y que me perdone Platón) de un diálogo socrático. Les recuerdo la cita que les solicité. Emely
MENÓN. ¿Podéis, Dr. Hernández y Dr. López, decirme si la geometría puede enseñarse, o si no pudiendo enseñarse, se adquiere sólo con la práctica; o, en fin, si no dependiendo de la práctica ni de la enseñanza, se encuentra en el hombre naturalmente o de cualquiera otra manera como con el GS?
Estudiante E.
No puedo más que hacerles llegar mi sentir sobre las maravillas que han creado en el portal de la clase. Hoy en la escuela, en el poco tiempo disponible que tengo, lei algunos artículos de la clase y los comentarios de los compañeros. Tuve que ir a casa de mi hermana, cuando ella llegó del trabajo, a instalar el GS y ver las 'conversaciones' por lo inspirada que yo estaba. La verdad que es brillante lo que han hecho, hay alguien que le sigue los pasos a Menón o a Sócrates o a Platón... Les felicito una vez más y estoy sumamente impresionada. Yo creo que eso merece publicarse de alguna manera o compilarlo en algún manual. Me parece que ese portal está excelente y creo que el curso está tomando una estructura didáctica que merece discusión y una pequeña investigación. Creo que los compañeros pueden ser más explícitos en sus escritos pero es posible que sea la limitación de tiempo. De todos modos me uno a la(el) companera(o) que exclamó: ¡Qué lindo! Una de las limitaciones de la tecnología es que cuando se daña (como en mi caso en el peor momento) es demasiado cara (por lo menos para mí) como para salir corriendo a comprarla (de la misma manera que llegué a la casa de mi hermana) pero la economía no está muy buena y menos con las noticias de hoy. Les dejo con un pensamiento editado (por mí y que me perdone Platón) de un diálogo socrático. Les recuerdo la cita que les solicité. Emely
MENÓN. ¿Podéis, Dr. Hernández y Dr. López, decirme si la geometría puede enseñarse, o si no pudiendo enseñarse, se adquiere sólo con la práctica; o, en fin, si no dependiendo de la práctica ni de la enseñanza, se encuentra en el hombre naturalmente o de cualquiera otra manera como con el GS?
Estudiante E.
Apuntes sobre la discusión del problema de la cuerda en movimiento
Revista Arista Virtual (En construcción)
Actividades para trabajar en la calculadora TI-nspire o el programa TI-nspire Teacher
Nuevo!!!! Actividades para el Geometer's Sketchpad (se ha añadido la Actividad VIII
- Actividad I Funcionalidades del programa GS (Geometer’s Sketchpad); Menú principal
- Actividad II Funcionalidades del programa GS (Geometer’s Sketchpad); Una cuerda en movimiento
- Actividad III Funcionalidades del programa GS (Geometer’s Sketchpad); Una cuerda en movimiento II
- Actividad IV Funcionalidades del programa GS (Geometer’s Sketchpad); Aréa versus perímetro
- Actividad V Puntos notables de un triángulo: El incentro
- Actividad VI Puntos notables de un triángulo: El circuncentro
- Actividad VII Rectas paralelas y proporcionalidad
- Actividad VIII Las medianas de un triángulo
- Dibujo para la actividad IV GSP)
Descripción del curso
Algunas palabras sobre los programas ahora disponibles para la exploración geométrica
Los programas más populares de exploración geométrica son posiblemente el Geometer's Sketchpad y el Cabri. Los programas son más o menos contemporáneos, aunque posiblemente el Cabri se desarrolló un poco antes. El desarrollador del programa Geometer's Sketchpad fue Nicholas Jackwiw y lo hizo mientras estuvo asociado a Key Curriculum Press. El programa ya anda por la versión 4 y a diferencia de las versiones anteriores, en la versión 4 se han incorporado funcionalidades que permiten el manejo de ambientes de exploración para la geometría análitica y la representación gráfica de funciones.
El Programa Cabri Geometry fue desarrollado en 1985 por Jean-Marie Laborde, científico de cómputos e investigador en el área de la matemática discreta. El nombre original del programa fue "Cabri-géomètre", se desarrolló en su versión moderna por Laborde y sus asociados, Philippe Cayet, Yves Baulac y Franck Bellemain mientras trabajaron en sus tesis doctorales con Laborde. En 1988 este programa, originalmente desarrollado para la plataforma Apple, fue galardonado con el Trofeo Educativo del año. En el año 1989 el gobierno francés auspició la distribución del programa Cabri Géomètre por toda Francia lo cual lo convirtió en uno muy popular en el continente europeo; esto permanece siendo cierto aún en el día de hoy.
Es importante señalar que el Sketchpad pertence a una familia de programas en los que primero se escogen los objetos geométricos y luego se indican las operaciones a realizar con tales objetos. Por ejemplo para dibujar el punto medio de un segmento dado, primero es "escoje" el segmento y luego se indica la acción de construir el punto medio. Por otro lado, el Cabri Geometry pertenece a una gran familia de programas en los que primero se elige el proceso a realizar (contruir el punto medio, dibujar la perpendicular a una recta desde un punto, etc.) y luego se indican los objetos sobre los cuales se realizará el proceso en cuestión (un programa similar es el Cinderella). Los programas del segundo tipo, en general son más eficientes para completar las construcciones geométricas deseadas, aunque no son, quizás tan fáciles de emplear.
Antes de estos dos programas existió uno muy popular, que a diferencia de los programas mencionados tenían una redudancia estudiada de conceptos y construcciones "primitivas" las cuales permitían el empleo de tal programa por los estudiantes más jóvenes. En efecto, tanto el Sketchpad como el Cabri pecan de tener funcionalidades elementales independientes en el sentido matemático, es decir, con muy poca redundancia. Esto, a nuestro juicio, se debe a la insistencia de independencia y poca redundancia que se tiene en el discurso matemático formal. Por ejemplo, para dibujar un triángulo equilatero en cada uno de estos dos programas se requiere una construcción un tanto elaborada, la cual un estudiante versado en la matemática podría llevar a su término, pero no así un niño de la escuela primaria (invitamos a nuestros estudiantes a realizar esta construcción en cualquiera de estos dos programas). Sin embargo, un programa anterior a ambos de los mencionados, el Geometric Supposser, desarrollado incialmente por Judah Schwartz de la Universidad de Harvard y por Michal Yerushalmy, una de sus estudiantes doctorales, tiene la virtud de poseer una serie de construcciones elementales (entre las cuales se encontraba, por ejemplo, la funcionalidad de construir un triángulo equilátero) que permitían al estudiante insertarse de inmediato en ambientes interesantes de exploración geométrica sin necesidad de encontrarse con lo que pudiésemos llamar "dificultades técnicas" como las descritas en el caso de un triángulo equilátero. Este programa todavía se distribuye pero no tiene adeptos tan fanáticos (por decirlo de algún modo) como los tienen los otros dos programas. Sin embargo, debemos decir con toda justicia, que las investigaciones sobre la didáctica de la geometría de más trascendencia en la literatura se han realizado con este magnífico programa de Judah Schwartz y Michal Yerushalmy.
Finalmente, mencionamos que en este momento existe algo así como una locura general y un entusiamo, un tanto desmedido quizás, por el programa GeoGebra, el cual es parecido a ambos, al Sketchpad y al Cabri, y permite un manejo excelente de los elementos del programa relacionados con la geometría analítica y la graficación. Aquellos interesados quedan invitados a visitar http://www.maa.org/joma/Volume7/Hohenwarter/index.html , lugar donde encontratrán el artículo "Dynamic Mathematics with GeoGebra" en la revista "The Journal of Online Mathematics and Its Applications" de la revista "Mathematical Assosiation of America" (versión virtual).
El Programa Cabri Geometry fue desarrollado en 1985 por Jean-Marie Laborde, científico de cómputos e investigador en el área de la matemática discreta. El nombre original del programa fue "Cabri-géomètre", se desarrolló en su versión moderna por Laborde y sus asociados, Philippe Cayet, Yves Baulac y Franck Bellemain mientras trabajaron en sus tesis doctorales con Laborde. En 1988 este programa, originalmente desarrollado para la plataforma Apple, fue galardonado con el Trofeo Educativo del año. En el año 1989 el gobierno francés auspició la distribución del programa Cabri Géomètre por toda Francia lo cual lo convirtió en uno muy popular en el continente europeo; esto permanece siendo cierto aún en el día de hoy.
Es importante señalar que el Sketchpad pertence a una familia de programas en los que primero se escogen los objetos geométricos y luego se indican las operaciones a realizar con tales objetos. Por ejemplo para dibujar el punto medio de un segmento dado, primero es "escoje" el segmento y luego se indica la acción de construir el punto medio. Por otro lado, el Cabri Geometry pertenece a una gran familia de programas en los que primero se elige el proceso a realizar (contruir el punto medio, dibujar la perpendicular a una recta desde un punto, etc.) y luego se indican los objetos sobre los cuales se realizará el proceso en cuestión (un programa similar es el Cinderella). Los programas del segundo tipo, en general son más eficientes para completar las construcciones geométricas deseadas, aunque no son, quizás tan fáciles de emplear.
Antes de estos dos programas existió uno muy popular, que a diferencia de los programas mencionados tenían una redudancia estudiada de conceptos y construcciones "primitivas" las cuales permitían el empleo de tal programa por los estudiantes más jóvenes. En efecto, tanto el Sketchpad como el Cabri pecan de tener funcionalidades elementales independientes en el sentido matemático, es decir, con muy poca redundancia. Esto, a nuestro juicio, se debe a la insistencia de independencia y poca redundancia que se tiene en el discurso matemático formal. Por ejemplo, para dibujar un triángulo equilatero en cada uno de estos dos programas se requiere una construcción un tanto elaborada, la cual un estudiante versado en la matemática podría llevar a su término, pero no así un niño de la escuela primaria (invitamos a nuestros estudiantes a realizar esta construcción en cualquiera de estos dos programas). Sin embargo, un programa anterior a ambos de los mencionados, el Geometric Supposser, desarrollado incialmente por Judah Schwartz de la Universidad de Harvard y por Michal Yerushalmy, una de sus estudiantes doctorales, tiene la virtud de poseer una serie de construcciones elementales (entre las cuales se encontraba, por ejemplo, la funcionalidad de construir un triángulo equilátero) que permitían al estudiante insertarse de inmediato en ambientes interesantes de exploración geométrica sin necesidad de encontrarse con lo que pudiésemos llamar "dificultades técnicas" como las descritas en el caso de un triángulo equilátero. Este programa todavía se distribuye pero no tiene adeptos tan fanáticos (por decirlo de algún modo) como los tienen los otros dos programas. Sin embargo, debemos decir con toda justicia, que las investigaciones sobre la didáctica de la geometría de más trascendencia en la literatura se han realizado con este magnífico programa de Judah Schwartz y Michal Yerushalmy.
Finalmente, mencionamos que en este momento existe algo así como una locura general y un entusiamo, un tanto desmedido quizás, por el programa GeoGebra, el cual es parecido a ambos, al Sketchpad y al Cabri, y permite un manejo excelente de los elementos del programa relacionados con la geometría analítica y la graficación. Aquellos interesados quedan invitados a visitar http://www.maa.org/joma/Volume7/Hohenwarter/index.html , lugar donde encontratrán el artículo "Dynamic Mathematics with GeoGebra" en la revista "The Journal of Online Mathematics and Its Applications" de la revista "Mathematical Assosiation of America" (versión virtual).
